1 . 下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．
如图，OC平分，点P在OC上，M、N分别是、OB上的点，，求证：．
小明的思考：要证明，只需证明即可．
证法：如图①：∵OC平分，∴，
又∵，，∴，
∴；
请仔细阅读并完成以下任务：

(1)小明得出的依据是______（填序号）．
①SSS             ②SAS             ③AAS             ④ASA             ⑤HL
(2)如图②，在四边形ABCD中，，的平分线和的平分线交于CD边上点P，求证：．
(3)在（2）的条件下，如图③，若，，当△PBC有一个内角是45°时，的面积是______．

2 . 球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用．球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离．

(1)纬度是指某点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角，赤道为纬线，赤道以北叫做北纬．如图1，将地球看作球体，假设地球半径为，球心为，北纬的纬线所形成的圆设为圆，且是圆的直径，球面被经过球心和点，的平面截得的圆设为圆，求圆中劣弧的长度，并判断其是否是，两点间的球面距离（只需判断、无需证明）．
(2)如图2，点，在球心为的球面上，且不是球的直径，试问，两点间的球面距离所在的圆弧是否与球心共面？若是，写出证明过程，并求出当，时，，两点间球面距离所在的圆弧与球心所形成的扇形的面积；若不是，请说明理由．

3 . 射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.

(1)当时，称为调和点列，若，求的值；
(2)①证明：；
②已知，点为线段的中点，，，求，.

4 . 如图，由开始，作一系列的相似三角形，OA的长度是．

   

(1)求OB，OC和OD．
(2)设，，，如此类推，证明：．
(3)用这个方法作更多的直角三角形，直至最后一个三角形的斜边OM与OA重合为止，求OM．

5 . 如图，某景区绿化规划中，有一块等腰直角三角形空地，，，为上一点，满足.现欲在边界，（不包括端点）上分别选取，两点，并在四边形区域内种植花卉，且，设.
   
(1)证明：；
(2)为何值时，花卉种植的面积占整个空地面积的一半？

6 . 为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，，，点E为BC上一点，且，过点D作于点F，设，.
   
(1)利用图中边长关系，证明：；

(2)若，求.

7 . 如图所示，已知的外接圆半径为，，是线段，上的两点，点是的外心，且是线段的中点，.

(1)证明：；
(2)求的最小值.

8 . 中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．

(1)四棱柱，平面平面ABCD，，，求的余弦值；
(2)当、时，证明以上三面角余弦定理；
(3)如图3，斜三棱柱中侧面，，的面积分别为，，，各侧面所应得平面与底面所成的三个二面角分别记为，，，请用文字和符号语言描述你能够得到的正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明．

10 . 如图，是的延长线，与分别交于M点和N点，且．求证：，．