1 . 如图所示，在中，P在线段BC上，满足，O是线段AP的中点．

(1)过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，．
①求证为定值；
②设的面积为，的面积为，求的最小值．
(2)若是边长为1的正三角形，且，……是线段BC的n等分点，，其中，n、，，求的值．

2 . 如图：在中，，，与交于点，设.
   
(1)若，求，的值；
(2)在线段上取一点，线段上取一点，使得过点，设，求证：．

3 . 如图，在中，.设.

   

(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线，并指明点的具体位置.

4 . 已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．

   

(1)求的最小值．
(2)若点满足，证明：．

5 . 在三角形ABC中，已知分别是线段AB，AC上的点，且，.若M、N分别为线段EF、BC的中点.
(1)用，表示；
(2)判断A，M，N三点是否共线？若是，写出证明过程；若不是，则说明理由.

7 . 如图，若点A，B，C互不重合，O是A，B，C三点所在平面上的任意一点，且，证明：A，B，C三点共线是的充要条件．
   

8 . 设两个非零向量与不共线．
(1)若，，求证三点共线．
(2)试确定实数，使和共线．

9 . 如图，在中，已知，，，．

   

(1)若，证明：A，F，E三点共线；
(2)若AE，BD交于点F，求的值．

10 . 在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．
(1)判断四边形的形状，并给出证明；
(2)若，，与的夹角为，为中点，求．