1 . 已知首项为1的数列满足.
(1)若，在所有中随机抽取2个数列，记满足的数列的个数为，求的分布列及数学期望；
(2)若数列满足：若存在，则存在且，使得.
（i）若，证明：数列是等差数列，并求数列的前项和；
（ii）在所有满足条件的数列中，求使得成立的的最小值.

2 . 定义：从数列中随机抽取m项按照项数从小到大的顺序依次记为，将它们组成一个项数为m的新数列，其中，若数列为递增数列，则称数列是数列的“m项递增衍生列”；
(1)已知数列满足，数列是的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的﹔
(2)已知数列是项数为m的等比数列，其中，若数列为1，16，81，求证：数列不是数列的“3项递增衍生列”；
(3)已知首项为1的等差数列的项数为14，且，数列是数列的“m项递增衍生列”，其中．若在数列中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m的最大值．

3 . 已知数列满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求实数的值，使得数列是等差数列；
(3)对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中．如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”．判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明．

4 . 已知等比数列的前项和为.
(1)求；
(2)设数列的前项和为，且当时，或的所有可能的值按从小到大排列组成新的数列.
（i）当时，求的所有项；
（ii）对于任意给定的正整数，求的所有项的和.

5 . 设集合，若X是的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集.
(1)当时，写出的所有奇子集；
(2)求证：当时，的所有奇子集的个数等于偶子集的个数；
(3)当时，求的所有奇子集的容量之和.

6 . 对于数列，定义：如果函数使得数列的前项和小于，则称数列是“控制数列”.
(1)设，证明：存在，使得等差数列是“控制数列”；
(2)设，判断数列是否为“控制数列”，并说明理由；
(3)仿照上述定义，我们还可以定义：如果存在实数使得数列的前项积小于，则称数列是“特控数列”.设，其中，证明：数列是“特控数列”.

7 . 定义二元数，将所有的二元数按照从小到大排列后构成数列.
(1)求；
(2)对于给定的，是否存在，使得，成等差数列？若存在求出满足的条件；若不存在，请说明理由；
(3)若，求.

8 . 若数列为正项等比数列，，数列为公差为6，首项为1的等差数列，则数列前5项和的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．65

9 . 已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）．
(1)计算．
(2)设函数．
①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求；
②若且，函数，证明：．

10 . 若，数列的前项和为，且，，则（       ）

A．76

B．38

C．19

D．0