1 . 设数列满足，，．
（Ⅰ）求的通项公式及前项和；
（Ⅱ）已知是等差数列，且满足，，求数列的通项公式.

2 . 设公差不为零的等差数列的前项和为 ，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.

3 . 已知数列的前n项和为，且，递增的等比数列满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．

4 . 已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过坐标原点.数列的前项和为，点在二次函数的图象上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在数列中是否存在这样一些项：，这些项都能够构成以为首项，为公比的等比数列？若存在，写出关于的表达式；若不存在，说明理由.

5 . 已知等差数列的前项和为，并且，，数列满足：，，记数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式及前项和公式；
（2）求数列的通项公式及前项和公式；
（3）记集合，若的子集个数为16，求实数的取值范围．

6 . 设数列的前项和为.若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.
（1）若数列的前项和为，证明：是“数列”.
（2）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值；
（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列” 和，使得成立.

7 . 已知各项均不相等的等差数列的前三项和为18，是一个与无关的常数，若恰为等比数列的前三项，
（1）求的通项公式．
（2）记数列，的前三项和为，求证：

8 . 已知等差数列{a_n}的首项为a，公差是b；等比数列{b_n}的首项是b，公比是a，其中a、b都是正整数，且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
（1）求a的值．
（2）若对于{a_n}、{b_n}，存在关系式a_m+2＝b_n，试求数列{a_n}前n（n≥2）项中所有不同两项的乘积之和．

9 . 已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列， 从第5项起依次成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求出所有的正整数m ，使得．

10 . 无穷数列的前n项和，并且．
（1）求的值；
（2）求的通项公式；
（3）作函数，如果，证明：．