2 . 对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质m”：
①；②存在实数M，使得成立．
(1)数列、中，，判断、是否具有“性质m”；
(2)设各项为正数的等比数列的前n项和为，且，，数列是否具有“性质m”，若具有，请证明你的猜想，并指出M的范围；若不具有，理由？
(3)若数列的通项公式．对于任意的（），数列具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值，求证：．

3 . 设等比数列的最n项和，首项，公比.
（1）证明：；
（2）若数列满足，，求数列的通项公式；
（3）若，记，数列的前项和为，求证：当时，.

4 . 设向量，（为正整数），函数在上的最小值与最大值的和为.又数列满足：.
（1）求证：；
（2）求的表达式；
（3）若，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论.

5 . 如果数列对任意的满足：，则称数列为“数列”.
（1）已知数列是“数列”，设，求证：数列是递增数列，并指出与的大小关系（不需要证明）；
（2）已知数列是首项为，公差为的等差数列，是其前项的和，若数列是“数列”，求的取值范围；
（3）已知数列是各项均为正数的“数列”，对于取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由.

6 . 一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列的前项和为，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于的项的和为．
（Ⅰ）求和；
(Ⅱ)判断和的大小，不用证明；
（Ⅲ）设，求证：，，使得．

7 . 对于数列，设表示数列前项，，，中的最大项．数列满足：．
(1)若，求的前项和．
(2)设数列为等差数列，证明：或者（为常数），，，，．
(3)设数列为等差数列，公差为，且．
记，
求证：数列是等差数列．

8 . 已知数列是等差数列，，，数列的前n项和为，且，
(1)求数列和的通项公式；
(2)若集合中恰有四个元素，求实数的取值范围；
(3)设数列满足，的前n项和为，证明：．

9 . 已知数列的首项为，前项和为，且.
(1)求证：数列为等差数列.
(2)若数列公差为，当取最小值时，求的值.

10 . 已知是等差数列，是递增的等比数列.，，.
(1)求数列和的通项公式及；
(2)若数列满足，，
（ⅰ）求证：为等比数列；
（ⅱ）设，对，都有恒成立，求实数的取值范围.