1 . 著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种

2 . 在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，.
(1)计算；
(2)设数列满足，，求的通项公式；
(3)设排列满足，，，，，证明：.

3 . 观察下表中的数字排列规律，若表示第m行，第n个数，，则下列说法正确的是（       ）

1	…………第1行
2       2	…………第2行
3       4       3	…………第3行
4       7       7       4	…………第4行
5     11     14     11     5	…………第5行
6     16     25     25     16     6	…………第6行
…………

A．数列是等差数列	B．数列是等比数列
C．	D．

4 . “冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达有_________种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，记，则_________（结果用表示）.

5 . 欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n为正整数，集合，欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数；记表示x除以y的余数（x和y均为正整数），
(1)求和；
(2)现有三个素数p，q，，，存在正整数d满足；已知对素数a和，均有，证明：若，则；
(3)设n为两个未知素数的乘积，，为另两个更大的已知素数，且；又，，，试用，和n求出x的值．

6 . 记数列的前n项和为，则下列说法错误的是（       ）

A．若存在，使得恒成立，则必存在，使得恒成立

B．若存在，使得恒成立，则必存在，使得恒成立

C．若对任意，恒成立，则对任意，恒成立

D．若对任意，恒成立，则对任意，恒成立

7 . 实数列满足为前k项和，令，求的最大值.

8 . 已知各项都不为零的无穷数列满足: ，若为数列中的最小项，则的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 数列共有11项，前11项和为，且满足，则下列说法正确的是（     ）

A．可以是等差数列

B．可以不是等差数列

C．所有符合已知条件的数列中，的取值个数为55

D．符合已知条件且满足的数列的个数为252

10 . 在党中央的“棈准扶贫”政策支持下，小王2023年底获得了扶贫免息贷款10000元，并于2024年1月初用于他的农产品加工销售创业项目，因产品质优价廉，上市后供不应求。据前两个月的经营情况测算；在一定时期内（不低于一年），每月获得的利润可稳定在该月月初投入资金的．为了提高利润，需加大投入，于是每月月底将本利扣除房租水电等成本（由于扶贫政策，成本可稳定在1000元）后的余款继续投入到下个月再加工销售．设1月月底本利扣除成本后将要投资到下个月的资金是，以此类推，2月月底是，月月底是．
(1)求；
(2)求与的关系（表示成（，为常数）的形式）；
(3)求，并预估小王在2024年（1月初至12月底）的年利润．
（参考数据：可取，，）