1 . 在数列中，，.
(1)求，；
(2)记.
（i）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和.

2 . 已知是公差为2的等差数列，其前10项和为100；是公比大于0的等比数列，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记，，，．
①证明数列是等比数列：
②证明．

3 . 已知等差数列的前n项和为，公差，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，
（ⅰ）求数列的前n项和；
（ⅱ）若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．

4 . 已知数列，，即当时，，记．
(1)求的值；
(2)求当，试用、的代数式表示；
(3)对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数．

5 . 设数列满足，令，则数列的前100项和为（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 已知数列的前项和满足；数列满足，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)记数列，，求；
(3)记数列，求证：．

7 . 已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．

8 . 已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：；
(3)设数列满足：．证明：．

9 . 已知为数列的前n项和，且，数列前n项和为，且，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，设数列的前n项和为，求；
(3)若数列满足：，证明：．

10 . 正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2021个数是（       ）

A．3991

B．3993

C．3994

D．3997