1 . 已知等差数列的前项和为，且，，、、成等比数列，数列满足．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求证．

2 . 设等差数列的前项和为，已知，且是与的等比中项.
（1）求的通项公式；
（2）若.求证：，其中.

3 . 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求证：.

4 . 在数列中，，成等比数列，公比为.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若成等差数列，公差为，设.
①求证：为等差数列；
②若，求数列的前项和.

5 . 数列的前n项之和为，，(p为常数)
（1）当时，求数列的前n项之和；
（2）当时，求证数列是等比数列，并求.

6 . 数列中，，前n项和满足．
（1）证明：为等差数列；
（2）求．

7 . 已知是各项均为正数的等比数列，若，的等比中项是，且，数列的前n项和满足，且.
（1）求的通项公式；
（2）求证：是等差数列，并求数列的前n项和.

8 . 设数列与满足：的各项均为正数，.
（1）设，若是无穷等比数列，求数列的通项公式；
（2）设.求证：不存在递减的数列，使得是无穷等比数列；
（3）当时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.

9 . 已知无穷数列的首项为，其前项和为，且（），其中为常数且．
（1）设，求数列的通项公式，并求的值；
（2）设，，是否存在正整数使得数列中的项成立？若存在，求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且，使得．

10 . 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.
（1）若数列1，2，，8是数列，求实数的取值范围；
（2）设数列，，，，是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；
（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为、，求证：当且时，数列不是数列.