1 . 设集合由满足下列两个条件的数列构成：①；②存在实数，使为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列、中，其中，，，，，，，，，，试判断数列、是否为集合中的元素；
（Ⅱ）设是等差数列，是其前项和，，，证明数列，并写出的取值范围；
（Ⅲ）设数列，对于满足条件的的最小值，都有求证：数列单调递增．

2 . 已知等差数列的公差为2，其前n项和，.
（1）求实数p的值及数列的通项公式；
（2）在等比数列中，，，若的前n项和为，求证：数列为等比数列.

3 . 已知是各项均为正数的等差数列，且公差为，对任意的，数列满足.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：.

4 . 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求；
（2）设数列的前项和为，求证：．

5 . 列三角形数表

假设第行的第二个数为
（1）归纳出与的关系式并求出的通项公式；
（2）求证：数列中任意的连续三项不可能构成等差数列．

6 . 已知数列的前项之积为，即，且，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设数列的前项和为，，求证：对一切，均有.

7 . 设等差数列的前项和为且对任意都成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：当时，．

8 . 已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明

9 . 已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”.
（1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；
（2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
（3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或.