1 . 已知正项数列的前项和为，且，.
（1）求，的值，并写出数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.

2 . 已知数列的前n项和为，满足.
（1）求证：是等差数列；
（2）已知是公比为q的等比数列，，，记为数列的前n项和.
①若（是大于2的正整数），求证：；
②若（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列中的每一项都是数列中的项.

3 . 已知数列，，且．
（1）若的前项和为，求和的通项公式
（2）若，求证：

4 . 给定数列，若，且，是数列的项，则称数列为“数列”.记数列的前项和为，且，都有.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若数列为“数列”，，，且，求所有的可能值；
（3）若也是数列的项，求证：数列为“数列”.

5 . 已知数列满足，（），数列的前n项和为，且满足（）.
（1）求数列，的通项公式；
（2） 记， 求证：
①当n≥2且时，；
②当时，.

6 . 在数列与中，，，数列的前项和满足，.
（1）求，，，的值，猜测的通项公式，并证明之.
（2）求数列与的通项公式；
（3）设，.证明：.

7 . 已知数列，为其前项的和，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，数列的前项和为，求证：当，时；
（3）已知当，且时有，其中，求满足的所有的值.

8 . 设数列的前项和为，对任意，点都在函数的图象上.
(1)求，归纳数列的通项公式(不必证明).
(2)将数列依次按项、项、项、项、项循环地分为，，，，各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值.
(3)设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，其中，求的取值范围.

9 . 已知数列的各项为正数，其前项和为满足，设.
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的最大值.
（3）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得 成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.

10 . 已知数列中，（是不等于的常数），为数列的前项和，若对任意的正整数都有.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）记，求数列的前项和；
（3）记，是否存在正整数，使得当时，恒有？若存在，证明你的结论，并给出一个具体的值；若不存在，请说明理由．