1 . 已知数列，，，其中．
(1)设，证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，求证：；
(3)设为非零整数，，试确定的值，使得对任意，都有成立．

2 . 设是公差为的等差数列，是公比为()的等比数列．记．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）已知数列的前4项分别为4，10，19，34．
① 求数列和的通项公式；
② 是否存在元素均为正整数的集合，，…，(，)，使得数列，，…，为等差数列？证明你的结论．

3 . 若数列满足，其中，则称数列为数列．已知数列为数列，当时．
(1)求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
(2)，求．

4 . 已知正项数列的前项和为，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若数列满足，且，求数列的前项和.

5 . 已知数列满足，．
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若记为满足不等式的正整数k的个数，设数列的前n项和为，求关于n的不等式的最大正整数解．

6 . 已知数列的前项和为，且.
(1)证明数列为等差数列，并求出的通项公式；
(2)设数列，问是否存在正整数，使得，若存在，求出所以满足要求的的值；若不存在，请说明理由.

7 . 已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有、、成等差数列，、、成等比数列，且，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列、的通项公式；
(3)设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

8 . 已知数列的前n项和为， ，且，.
(1)在下列问题①②中选择一个求解；
①求证：是等比数列，并求；
②求证： 是等差数列，并求.
(2)设，，若是等比数列，求λ的值.
注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.

9 . 设数列为等差数列，前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：．

10 . 已知数列满足: .
(1)求，由此猜想并直接写出数列的通项公式;
(2)记，求;
(3)在（2）的条件下，记，证明: 当时，.