1 . 如图，在中，AB边上有一点，点是线段AB的三等分点，点为线段DC上的一点（不与点D、C重合），若分所成的比为，连接AM，且有.

(1)用来分别表示;
(2)假设函数，存在数列，首项，当时，对前项和有成立，求数列的通项公式.

2 . 已知等差数列满足，设是数列的前项和，记．
(1)求；
(2)比较与的大小；
(3)如果函数对一切大于1的正整数，其函数值都小于零，那么应满足什么条件？

3 . 已知集合，设是等差数列的前项和，若的任意一项，且首项是中的最大值，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求的值.

4 . 设数列的前项和为，对一切，点在函数的图象上.
(1)求的表达式；
(2)设为数列的前项积，是否存在实数，使得不等式对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)将数列依次按1项、2项循环地分为，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值.

5 . 二次函数的图像如图所示，点位于坐标原点，，，，…，，…在轴的正半轴上，，，，…，，…在二次函数第一象限的图像上，若，，，…，，…都是正三角形．

(1)求三角形的边长；
(2)设三角形的边长为，（为非零常数），是否存在整数，使得对任意正整数，都有？若存在，求出；若不存在，请说明理由．

6 . 已知是不相等的正数，在之间分别插入个正数和正数，使是等差数列，是等比数列．
(1)若求的值；
(2)若，如果存在使得，求的最小值及此时的值．

7 . 在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于点，若点坐标为，则称点为点的“朋友点”.例如，点的“朋友点”为点.已知点的坐标为，点的“朋友点”为点，点的“朋友点”为点，点的“朋友点”为点，点的“朋友点”为点，则点的坐标是__________.

8 . 记数列的前项和为，集合，若对任意，恒有，则称具有性质.
（1）若的前项和为，判断是否具有性质，并说明理由；
（2）若为等差数列，首项，公差，且具有性质，求的值.