1 . 在等比数列{a_n}中，，且成等差数列.
（1）S_n为{a_n}的前n项和，证明：；
（2）T_n为{a_n}的前n项的积，求数列{T_n}中落入区间[3¹⁰，3²¹]中项的个数.

2 . 甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列的前n项和为，已知____________，
（1）判断的关系并给出证明.
（2）若，设，的前n项和为，证明.
甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是成等差数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.

3 . 在①成等差数列;②成等差数列;③中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且          .
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，证明.

4 . 已知椭圆，过左焦点的动直线交椭圆于，两点，为直线上一定点（不是与轴的交点），直线，，的斜率分别为，，.
（1）判断，，是否恒为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由；
（2）对任意给定的点，是否都存在一条过点的直线，使得，，为等比数列？请说明理由.

5 . 已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围.

6 . 记为等比数列的前n项和，已知，．
（1）求的通项公式
（2）求；
（3）判断，，是否成等差数列，若是，写出证明过程；若不是，说明理由．

7 . 已知数列的前n项和为,（n∈N^*）．
（1）证明数列是等比数列，求出数列的通项公式；
（2）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由.

8 . 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列的通项公式，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：，．

9 . 已知数列为等差数列.
（1）求证：；
（2）设，且其前n项和，的前n项和为，求证：.

10 . 对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数恒成立，则称数列是数列，若正数项数列，满足：对任意正整数恒成立，则称是数列；
（1）已知正数项数列是数列，且前五项分别为、、、、，求的值；
（2）若为常数，且是数列，求的最小值；
（3）对于下列两种情形，只要选作一种，满分分别是 ①分，②分，若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答记分.
① 证明：数列是等差数列的充要条件为“既是数列，又是数列”；
②证明：正数项数列是等比数列的充要条件为“数列既是数列，又是数列”.