1 . 抛物线，直线过抛物线的焦点，交轴于点.

（1）求证：；
（2）过作抛物线的切线，切点为（异于原点），
（ⅰ），，是否恒成等差数列，请说明理由；
（ⅱ）重心的轨迹是什么图形，请说明理由.

2 . 已知数列，其前项和为，对任意都有：
（1）求证：是等比数列；
（2）若构成等差数列，求实数的值；
（3）求证：对任意大于1的实数，，,
不能构成等差数列.

3 . 在数列中，，，，其中．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，试问数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．
（3）已知当且时，，其中，，，，求满足等式的所有的值．

4 . 已知等比数列的各项均为正数，且成等差数列，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，记，，求证：.

5 . 已知是以a为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和．
（Ⅰ）当、、成等差数列时，求q的值；
（Ⅱ）当、、成等差数列时，求证：对任意自然数k，、、也成等差数列．

6 . 已知等比数列的首项，公比，数列前项和记为，前项积记为．
(1)证明：；
(2)求为何值时，取得最大值；
(3)证明：若数列中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为、、、，则数列为等比数列．

7 . 已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列.
(Ⅰ) 求数列的通项公式;
(Ⅱ) 证明.

8 . 已知数列的各项都是正数，且对任意，（为常数）．
（1）若，求证：成等差数列；
（2）若，且成等差数列，求的值；
（3）已知（为常数），是否存在常数，使得对任意都成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

9 . 已知函数，
（1）若a=1，试判断并用定义证明函数f(x)在[1,4]上的单调性；
（2）当时，求函数f(x)的最大值的表达式M(a)；
（3）是否存在实数a，使得f(x)=3有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由.

10 . 设是坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，且是椭圆上不同的两点．
（Ⅰ）若直线过椭圆的右焦点，且倾斜角为，求证：成等差数列；
（Ⅱ）若两点使得直线的斜率均存在，且成等比数列，求直线的斜率．