1 . （1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p；
（2）设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列．

2 . 在已知数列中，
(1)求及数列的通项公式；
(2)已知数列的前项和为，求证：；
(3)中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由.

3 . 已知数列为等差数列，，，数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)设，求数列的前项和.

4 . 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为，
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，.

5 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，．
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值；
(3)记，求证：．

6 . 已知为等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若为递增数列，，设的前项和为，求取最小时的值.

7 . 已知数列的前项和为，从条件①：，且、条件②：为等比数列，且满足（）这两个条件中选择一个条件作为已知，解答下列问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求数列的通项公式；
(2)设（），记的前项和为，若对任意正整数，都有恒成立，求实数的取值范围．

8 . 已知正项等比数列的前n项和为，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)已知数列满足，求的前n项和.

9 . 已知函数，数列的前n项和为，且点在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若对任意的恒成立，求实数t的取值范围．

10 . 设是等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记的前项和为，求当为何值时，取得最小值.
(3)求数列的前项和的值.