1 . 已知等差数列满足，，数列满足．且有．记的前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求的前n项和．

2 . 已知数列的各项均为正数，其前n项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．

3 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
(1)写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意，恒有成立，求实数的取值范围；
(3)正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

4 . 已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：数列的前n项和.

5 . 一种抛骰子游戏的规则是：抛掷一枚质地均匀的骰子，若正面向上的点数不大于4点，得1分，若正面向上的点数大于4点，则得2分．得分累加，游戏次数无限制．
(1)求在已经得到2分的情况下，再抛掷2次得4分的概率；
(2)抛掷4次的得分记为，求的分布列和数学期望；
(3)求恰好得到分的概率．

6 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，．
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值；
(3)记，求证：．

7 . 已知数列的前n项和满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求使成立的正整数n的最小值．

8 . 已知正项等比数列中，为的前n项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设数列的前n项和，求.

9 . 已知为等差数列，为各项均为正数的等比数列，．
(1)求和的通项公式;
(2)求的前项和;
(3)若对任意，有恒成立，求实数的最小值．

10 . 已知是数列的前项和，满足；正项数列为等比数列，数列的前项和为，，．
(1)求数列和的通项公式：
(2)令，数列前项和为，求．