1 . 已知数列 ​的前​项和为​， 且​， __________．请在​成等比数列;​， 这三个条件中任选一个补充在上面题干中， 并解答下面问题．
(1)求数列 ​的通项公式;
(2)设数列 ​的前​项和​， 求证：​．

2 . 已知数列满足，，其中.
(1)设，求证：数列是等差数列.
(2)在（1）的条件下，求数列的前n项和.
(3)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

3 . 已知数列满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，则关于正整数的不等式（其中）最多有几个解.

4 . 已知数列的前n项和为S_n，S_n＋1＝4a_n，n∈N^*，且
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)在①b_n＝a_n＋1－a_n；②b_n＝log₂；③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．已知数列{b_n}满足_________，求{ b_n }的前n项和

5 . 在①②这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．
已知数列的前项和是数列的前项和是，__________．
(1)求数列的通项公式；
(2)设证明：

6 . 已知数列中，，．
（1）求证数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．

7 . 已知数列中，，.
（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）已知数列，满足.
（i）求数列的前项和；
（ii）若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

8 . 已知数列，，且满足.数列满足，数列的前项和为.
(1)证明：数列为等比数列并求的通项公式；
(2)求数列的通项公式.

9 . 已知数列的前项和为且满足．   
（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.

10 . 设，，现给出以下三个条件：①，；②，对于任意，，，且；③，，．
从以上三个条件中任选一个，补充在本题相应的横线上，再作答（如果选择多个条件作答，则按第一个解答计分）
已知数列的前项和为，满足         
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求证：．