1 . 已知数列的首项，且满足，数列的前n项和满足，且．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前19项和．

2 . 设为数列的前项和，已知，且为等差数列．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）．

3 . 已知单调递增数列满足，.
(1)证明:是等差数列；
(2)从①；②这两个条件中任选一个，求的前项和.
注:如果选择不同的条件分别解答，按第一个解答计分.

4 . 已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.

5 . 已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，令，求证：．

6 . 已知（常数），数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求证：．

7 . 已知正项数列满足，．

(1)若，请判断并证明数列的单调性；
(2)若，求数列的前项和．

8 . 在正项数列中，，且．
(1)求证：数列是常数列，并求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求证：．

9 . 已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，且；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，证明：.
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

10 . 公比为的等比数列的前项和．
(1)求与的值；
(2)若，记数列的前项和为，求证：．