1 . 计算.

2 . 数列满足，则______.

3 . 已知数列，当时，______.

4 . 等差数列的前项和为，，，则__________

5 . 将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为______.

6 . 已知数列的前项和为，，.
(1)计算：，，，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法来证明（1）中猜想；
(3)记，求.

7 . 已知数列满足，．
(1)证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)设数列满足，为数列的前n项和，
①求数列的前n项和；
②若在，上恒成立，求的取值范围．

8 . 已知数列满足，，是其前n项和.
(1)计算，，并猜想的通项公式，用数学归纳法证明；
(2)记，求.

9 . 等差数列中，，的前n项和为，满足.
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若，设是数列的前n项和，若存在常数s，t，使不等式对任何正整数n都成立，求的最小值.
(3)若对于任意，，不等式都成立，求正数k的最大值.

10 . 若数列的前项和满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有.