1 . 定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为，终点为的空间向量记作，其大小称为的模，记作等于两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量，均有，，；对任意实数和空间向量，均有；对任意三点，均有等．已知体积为的三棱锥的底面均为，在中，是内一点，．记．
(1)若到平面的距离均为1，求；
(2)若是的重心，且对任意，均有．
（i）求的最大值；
（ii）当最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组满足对任意，均有，且对任意均有求证：不可能对任意及均成立．
（参考公式：）

3 . 炎炎夏日，上学路上若有一支冰淇淋该多么美妙啊！小明同学酷爱甜筒冰淇淋（图1），他想动手做一个甜筒模型（图2），若根据设计稿已知为直角三角形，四边形为直角梯形，，，曲线是以为圆心的四分之一圆弧，，，，，将平面图形旋转一周得到小明设计的甜筒．

(1)求该甜筒的体积；
(2)小明准备将矩形旋转所形成的几何体都用来盛装冰淇淋（如图2所示），该矩形内接于图形，在弧上（不与端点重合），点在线段上，与所在的直线重合，设，求：
①盛装冰淇淋容器的体积；（用表示）
②炎热的天气下，若冰淇淋融化的时间与盛装的体积满足关系，请计算这个冰淇淋完全融化需要的最长时间．
(3)小明想给甜筒一些新的装饰，如果修改后的甜筒俯视图如图3所示，且通过拼装后可以变成一个正四棱锥（即俯视图可以看作一个正四棱锥的展开图），我们记侧棱的长为1，，正四棱锥的表面积记作，体积记作．求（将其表示为的形式，其中为常数）．

6 . 如图是一个所有棱长均为4的正八面体，若点在正方形内运动（包含边界），点在线段上运动（不包括端点），则（       ）

A．异面直线与不可能垂直

B．当时，点M的轨迹长度是

C．该八面体被平面所截得的截面积既有最大值又有最小值

D．凡棱长不超过的正方体均可在该八面体内自由转动

7 . 在长方体中，，，，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则点可用有序数组表示．空间中任意一点可用有序数组表示，定义空间中两点，的距离．

(1)若点为边（含端点）上的动点，证明：为定值；
(2)，，为空间中任意三点，证明：；
(3)若，，其中、、，求满足的点的个数，并证明从这个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于．

8 . 球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.对于半径为R的球，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角.

   

已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点．
(1)球面的三条边长相等（称为等边球面三角形），若，求球面的内角和；
(2)类比二面角，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.
其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角. 若三面角的三个面角的余弦值分别为.
（ⅰ）求球面的三个内角的余弦值；
（ⅱ）求球面的面积.