1 . 已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，满足，若，点为的中点，点为的三等分点（靠近点）．

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．

3 . 如图，在四棱锥中，为的中点，连接，且.

(1)求证：平面平面；
(2)若四棱锥的体积为，求点到平面的距离.

4 . 如图，在三棱锥中，平面分别是的中点．

   

(1)求证：平面平面；
(2)若，三棱锥的体积为，且，求的长度．

5 . 如图所示，在四棱锥中，平面，，，且，．

(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：．

6 . 正方体的棱长为是线段上的动点.

(1)求证：平面平面；
(2)与平面所成的角的正弦值为，求的长.

7 . 已知三棱柱，如图所示，是，上一动点，点、分别是、的中点，，．

(1)求证：平面；
(2)当平面，且时，求三棱锥的体积．

8 . 如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.

   

(1)求证：；
(2)若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.

9 . 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，．

(1)求证：；
(2)若直线PD与BC所成的角为，求四棱锥的体积．

10 . 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的动点，为上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）．

(1)求证：当为的中点时，平面
(2)若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的取值范围．
(3)求三棱锥的体积的最大值．