1 . 如图，圆柱的轴截面是边长，的矩形，点在上底面圆内，且（，，三点不在一条直线上）.下底面圆的一条弦交于点，其中，平面平面.
          
(1)证明：平面；
(2)若二面角的正切值为，求的长.

2 . 如图，四边形是圆柱的轴截面，是母线，点D在线段BC上，直线//平面.

(1)记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，证明：；
(2)若，，直线到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.

3 . 中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，是正方形，平面，，点，是，的中点．

(1)若要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；
(2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．

4 . 如图1，四边形ABCD是等腰梯形，E，F分别是AD，BC的中点，．将四边形ABFE沿着EF折起到四边形处，使得，如图2，G在上，且．

(1)证明：平面DFG；
(2)求平面DFG与平面夹角的余弦值

5 . 如图1，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，G是EF上的一点，将分别沿AB，CD翻折成，并连接，使得平面平面ABCD，，且，连接，如图2．

(1)证明：平面平面；
(2)当时，求直线和平面所成的角．

6 . 平行四边形ABCD中，，，如图甲所示，作于点E，将沿着DE翻折，使点A与点P重合，如图乙所示．

(1)设平面PEB与平面PDC的交线为l，判断l与CD的位置关系，并证明；
(2)当四棱锥的体积最大时，求二面角的正切值；
(3)在（2）的条件下，G、H分别为棱DE，CD上的点，求空间四边形PGHB周长的最小值．

7 . 如图，是半球的直径，为球心，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且，

(1)证明：平面平面；
(2)若点在底面圆内的射影恰在上，求二面角的余弦值．

8 . 如图1，在△ABC中，，，E为AC的中点，现将△ABC及其内部以边AB为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点O为C旋转过程中形成的圆的圆心，为圆O上任意一点.


(1)求新的几何体的体积.
(2)记与底面所成角为.
①求sin的取值范围；
②当时，求二面角的平面角的余弦值.

9 . 用一个平面去截长方体，截面的形状将会是什么样的？若想看到截面的样子，可以用一个长方体的盒子，内装一定量的液体，以不同的方向角度倾斜．观察液体表面的变化，我们看到：液面可以是三角形、四边形、五边形或六边形．观察并思考下列问题：

(1)液面不会是七边形，为什么？
(2)当液面是三角形时，一定是锐角三角形，为什么？
(3)当液面是四边形时，这个四边形有什么特点？
(4)设长方体有公共顶点的三条棱长分别为a，b，c（），液面会是正方形吗？
(5)液面不会是正五边形，为什么？
(6)在什么条件下，液面呈正六边形？
(7)当液面是三角形时，液体体积与长方体体积之比的范围是多少？
(8)当液面是六边形时，液体体积与长方体体积之比的范围是多少？

10 . 有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱？有两个相邻的侧面是矩形的棱柱呢？