1 . “风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的历史．相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝；到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成．如图（1）就是一个由菱形的风筝面ABCD和两个直角三角形尾翼和所组成的风筝．其中，，，，．现将此风筝的两个尾翼分别沿折起，使得点P与点Q重合于点S，并连结，得到如图（2）所示的四棱锥．

(1)求证：平面；
(2)若E为棱上一点，记
①若求直线与平面所成角的正切值；
②是否存在点E使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由．

2 . 两条异面直线上分别有定长的两线段，求证四面体的体积为定值．

3 . 从条件①，②中选择一个，补充在下列横线中，并解答问题．
如图，在直三棱柱中，点在线段上，已知______，且，，．（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）．

(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．

4 . 甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）.
(1)比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据）
(2)现单独研究棱长，记（且），其展开式中含项的系数为，含项的系数为.
①若，对成立，求实数，，的值；
②对①中的实数，，用数字归纳法证明：对任意且，都成立.

5 . 已知两条异面直线a，b所成角为，距离为d，两直线上分别取点E、F．，，M、N分别为公垂线与a、b的交点，，．求证：．

6 . 如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面．

(1)求证：直线平面；
(2)设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角；
(3)若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高．

7 . 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”

如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD；

(1)若，，，，求证：；
(2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦.
(3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值.

8 . 已知是空间四边形，如图所示（，，，分别是、、、上的点）．

(1)若直线与直线相交于点，证明，，三点共线；
(2)若，为，的中点，，，，求异面直线与所成的角．

9 . 如图，已知点是三角形所在平面外一点，且，截面分别平行于，（点，，，分在棱，，，上）

(1)求证：四边形是平行四边形且周长为定值；
(2)设与所成角为，求四边形的面积的最大值．