1 . 如图，已知是圆的直径，平面，是的中点，．

   

(1)证明：平面；
(2)求证：平面平面．

2 . 如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕边旋转至.

   

(1)求证：直线平面；
(2)求证：直线平面；
(3)当平面平面时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个，使平面与平面垂直.并证明你的结论.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（3）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

3 . 在直角梯形中，，∥，，，点为线段上的一点.将沿翻折到的位置，使得.

(1)求证：∥平面；
(2)若二面角为，判断所在的位置；
(3)在上是否存在一点，使.若存在，指出位置并证明，若不存在，说明理由.

4 . 在底面ABCD为梯形的多面体中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．
   
(1)求证：BD⊥AE；
(2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明．

5 . 如图：在四棱锥中，底面是正方形，，，点在上，且.
       
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)证明：在线段上存在点，使∥平面，并求线段的长.

6 . 如图1，2，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，点M是AD上的点，且.将，分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB.
   
(1)求证：；
(2)试判断PB与平面EFM的位置关系，并给出证明.

7 . 如图，在直三棱柱中，平面平面，
   
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角为，二面角的大小为，试判断，的大小关系，并予以证明.

8 . 在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为边长为2的正三角形，且平面平面ABCD，E为线段AD的中点，PE与平面ABCD所成角为45°.

(1)证明：；
(2)求证：平面平面PBC.

9 . 如图，在中，O是的中点，.将沿折起，使B点移至图中点位置．

(1)求证：平面；
(2)当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；
(3)在（2）的条件下，试问在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求的长．

10 . 如图①所示，已知正三角形与正方形，将沿翻折至所在的位置，连接，，得到如图②所示的四棱锥.已知，，为上一点，且满足.

(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面.若存在，指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.