1 . 如图所示，正方体的棱长为，点在棱上，且，连结，，，，.

（1）求直线与平面所成角的正切值；
（2）求三棱锥的体积.

2 . 如图①，圆O的直径AB＝2，圆上两点C，D在直线AB的两侧，且∠CAB＝45°；∠DAB＝60°，沿直线AB将半圆ACB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图②）．

（1）求三棱锥O－BCD的体积；
（2）求直线CD与平面ABC所成角的正切值．

3 . 如图，在中，为的中点，分别在边上，满足，交于.现将沿翻折至，得四棱锥.

（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值为，且在平面内的射影在的内部，求的长.

4 . 在①使三棱锥体积取得最大值，②使这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
如图1，是边长为2的等边三角形，是的中点，将沿翻折形成图2中的三棱锥，________，动点在棱上．

（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

5 . 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，E是PD的中点.

（1）证明：直线平面PAB；
（2）求直线与平面所成角；
（3）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值.

6 . 如图，四棱锥中，底面为矩形，，，平面，为的中点．

（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正切值；
（3）在第二问的条件下，若为线段中点，为线段上的动点，平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．

7 . 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，M，N分别为BC，的中点，P为AM上一点，过和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）证明：，且平面；
（2）设O为的中心，若面，且，求直线与平面所成角的正弦值.

8 . 如图，在四棱柱中，四边形为正方形，各棱长均为，．

（1）证明：；
（2）若，侧棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．

9 . 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点，分别为，的中点，连接，交于点，点为的中点.

（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成角为60°，求三棱锥的体积.

10 . 已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

图一

图二
(1)证明：平面平面；
(2)若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.