1 . 在正方体中，点为线段的中点．设点在线段不与重合）上，直线与平面所成的角为，则的最大值是______．

2 . 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，侧棱底面，点是的中点，为线段上一点且.

(1)若，求的长；
(2)若平面与平面所成的二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.

3 . 在长方体中，为空间内一点，为底面内一点，且满足，异面直线与所成角为，则当线段的长度取最小值时，的值为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抺一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱中，，现经过作与底面所成角为的截面，且截面与，分别交于不同的两点， .

(1)求证：平面；
(2)当和分别为和的中点时，需要在线段上寻找一个点，用纳米纤维导管连接，使得与所在直线的夹角最小，试求出纤维导管的长.

5 . 如图，正方体的棱长为，、分别为和的中点，为棱上的动点.

(1)是否存在点使平面？若存在，求出满足条件时的长度，若不存在，请说明理由；
(2)当为何值时，平面与平面所成锐二面角的正弦值最小.

6 . 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知∠BCC₁=，BC=1，AB=C₁C=2，E是棱C₁C的中点.

(1)求二面角A—EB₁—A₁的余弦值；
(2)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A₁B₁E所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

7 . 已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面边长AB=2，AB₁⊥BC₁，O，O₁分别是棱AC，A₁C₁的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)求异面直线AB₁与BC所成角的余弦值.

8 . 已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=AA₁=2BC，E为DD₁的中点，F为A₁D的中点，则直线EF与平面A₁CD所成角的正弦值为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的角为（       ）

A．45°

B．135°

C．45°或135°

D．90°

10 . 直三棱柱中，，，点为线段的中点，直线与的交点为，若点在线段上运动，的长度为．

(1)求点到平面的距离；
(2)是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
(3)求直线与平面所成角正弦值的取值范围．