1 . 如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足.

(1)若，求证：直线平面；
(2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由；
(3)若，求直线与直线所成最大角的余弦值.

2 . 在正四棱柱中，，是棱 上的中点．
   
(1)求证：；
(2)异面直线与所成角的余弦值．

3 . 如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点，分别是，的中点.

(1)求证：，；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.

4 . 如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.
   
(1)证明：平面；
(2)求直线和直线所成角的余弦值.

5 . 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点．

(1)求证：；
(2)若直线与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值．

6 . 光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抺一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱中，，现经过作与底面所成角为的截面，且截面与，分别交于不同的两点， .

(1)求证：平面；
(2)当和分别为和的中点时，需要在线段上寻找一个点，用纳米纤维导管连接，使得与所在直线的夹角最小，试求出纤维导管的长.

7 . 如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝120°，对角线AC与BD交于点G，点E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝，DF＝

(1)求证：EG⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

8 . 如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且.

(1)证明：；
(2)若四棱锥的体积为1，求异面直线与所成角的余弦值.

9 . 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M是线段EF的中点．

(1)求证：平面BDE，并求直线AM和平面BDE的距离；
(2)求二面角的大小；
(3)试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°．

10 . 在直三棱柱中，且分别是的中点.

(1)求BN的长；
(2)求异面直线和所成角的余弦值；
(3)证明：．