1 . 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C是矩形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=2，AC=1，，．

（1）求证：AA₁⊥平面ABC；
（2）在线段BC₁上是否存在一点D，使得AD⊥A₁B？若存在求出的值，若不存在请说明理由．

2 . 如图1，四棱锥中，底面，面是直角梯形，为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示.

（1）证明：平面；
（2）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点，并求的长；若不存在，说明理由.

3 . 如图，在正四棱锥中，二面角为，为的中点.
（1）证明：；
（2）已知为直线上一点，且与不重合，若异面直线与所成角为，求

4 . 如图①，在五边形中，，，，，将沿折起到的位置，得到如图②所示的四棱锥，为线段的中点，且平面.

（1）求证：平面.
（2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.

5 . 如图,四棱锥的底面是正方形, 平面,,点是上的点,且 .

（1）求证:对任意的 ,都有.
（2）设二面角C-AE-D的大小为 ,直线BE与平面所成的角为 ,

若,求的值.

6 . 如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形且垂直于底面，底面是矩形，，是的中点.

（1）证明：平面；
（2）点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

7 . 如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．

（1）求证：；
（2）求直线和平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

8 . 如图1，四棱锥中，底面，面是直角梯形，为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．
（1）证明：平面；
（2）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点，并求的长；若不存在，说明理由．

9 . 如图所示，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.
   
(1)证明:AE⊥PD;
(2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,
求二面角E—AF—C的余弦值.

10 . 如图，在四棱锥中，已知且四边形ABCD为直角梯形，分别为PA，PD的中点.

(1)求证：平面；
(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DM所成角最小时，求线段BQ的长.