名校
1 . 已知直线l：
与双曲线C：
相切于点Q．
(1)试在集合
中选择一个数作为k的值，使得相应的t的值存在，并求出相应的t的值；
(2)设直线m过点
且其法向量
，证明：当
时，在双曲线C的右支上不存在点N，使之到直线
的距离为
；
(3)已知过点Q且与直线l垂直的直线
分别交x、y轴于A、B两点，又P是线段
中点，求点P的轨迹方程．
与双曲线C：相切于点Q．(1)试在集合
中选择一个数作为k的值，使得相应的t的值存在，并求出相应的t的值；(2)设直线m过点
且其法向量，证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点N，使之到直线的距离为；(3)已知过点Q且与直线l垂直的直线
分别交x、y轴于A、B两点，又P是线段中点，求点P的轨迹方程．
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解题方法
2 . 已知双曲线
的离心率为
，虚轴长为
．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：
的面积为定值．
的离心率为，虚轴长为．(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：
的面积为定值．
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3 . 点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线C：
上的点
作曲线C的切线
与曲线C交于
，过点
作曲线C的切线
与曲线C交于点
，依此类推，可得到点列：，，，…，
，…，已知
．
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)记点
到直线
（即直线
）的距离为
，求证：
；
上的点作曲线C的切线与曲线C交于，过点作曲线C的切线与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知．(1)求数列
、的通项公式；(2)记点
到直线（即直线）的距离为，求证：；
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4 . 已知椭圆
.
(1)已知
的顶点均在椭圆
上，若坐标原点
为的重心，求点到直线PQ距离的最小值；
(2)已知定
在椭圆上，直线
（与
轴不重合）与椭圆交于A、B两点，若直线AB，AN，BN的斜率均存在，且
，证明：直线AB过定点（坐标用
，
表示）.
.(1)已知
的顶点均在椭圆上，若坐标原点为的重心，求点到直线PQ距离的最小值；(2)已知定
在椭圆上，直线（与轴不重合）与椭圆交于A、B两点，若直线AB，AN，BN的斜率均存在，且，证明：直线AB过定点（坐标用，表示）.
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5 . 已知椭圆
，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点
和
，记
的面积为
．
(1)设
，用
的坐标表示点到直线的距离，并证明
；
(2)设
，
，
，求
的值；
(3)设与的斜率之积为，求的值，并使得无论与如何变动，面积保持不变．
，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和，记的面积为．(1)设
，用的坐标表示点到直线的距离，并证明；(2)设
，，，求的值；(3)设
与的斜率之积为，求的值，并使得无论与如何变动，面积保持不变．
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解题方法
6 . 三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角
的顶点为
，在
的两边上截取
，连接
，在线段上取一点，使得
，记
的中点为
，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线
，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点
（射线
在
内部），则
.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若
，点在轴的上方.的方程；
(2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点
，点到直线
的距离为
.
证明：①
为定值；
②.
的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.
的方程；(2)若过点
且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.证明：①
为定值；②
.
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名校
7 . 设点
是抛物线外一点，过点向拋物线
引两条切线TM，TN，切点分别为M，N，焦点
，
(1)若点的坐标为
，证明：以TM为直径的圆过焦点；
(2)若点的坐标为
，证明：
．
是抛物线外一点，过点向拋物线引两条切线TM，TN，切点分别为M，N，焦点，(1)若点
的坐标为，证明：以TM为直径的圆过焦点；(2)若点
的坐标为，证明：．
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8 . 已知双曲线：
的渐近线为
，焦距为
，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、
、.
(1)求的方程；
(2)证明：
；
(3)求
的取值范围.
：的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、.(1)求
的方程；(2)证明：
；(3)求
的取值范围.
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2024-04-29更新
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777次组卷
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2卷引用：湖南省长郡中学、浙江省杭州二中、江苏省南京师大附中三校2023-2024学年高三下学期联考数学试题
名校
9 . 已知抛物线
的焦点为
，过点的直线与交于两点，过作的切线
，交于点，且与轴分别交于点
.
(1)求证：
；
(2)设点
是上异于的一点，到直线
的距离分别为
，求
的最小值.
的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点.(1)求证：
；(2)设点
是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值.
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2024-04-01更新
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2137次组卷
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3卷引用：安徽省合肥市2024届高三第一次教学质量检查数学试题
，建立适当的坐标系，用解析法证明：底边
上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
