1 . 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)均在抛物线上．

（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．

2 . 已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
（1）求抛物线C的方程.
（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.

3 . 已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点，求证：．

4 . 已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，是抛物线上的不同两点，且轴，直线与轴交于点，再在轴上截取线段，且点介于点点之间，连接，过点作直线的平行线，证明是抛物线的切线.

5 . 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且（为坐标原点）的外接圆圆心到准线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于另一点，证明：为定值；
（3）过点作圆的两条切线，与轴分别交于，两点，求面积取得最小值时对应的的值．

6 . 已知点为抛物线的焦点.

（1）设，动点在上运动，证明：.
（2）如图，直线与交于，两点（在第一象限，在第二象限），分别过，作的垂线，交轴于，两点，求的取值范围.

7 . 过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，，
（1）若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；
（2）若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点；
（3）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数.

8 . 已知抛物线的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．
（1）求的方程；
（2）若是上的两个动点，且两点的横坐标之和为．
（ⅰ）设线段的中垂线为，证明：恒过定点．
（ⅱ）设（ⅰ）中定点为，当取最大值时，且，位于直线两侧时，求四边形的面积．

9 . 设抛物线C：y²=2px(p>0)的焦点为F，点P(4，m)(m>0)是抛物线C上一点，且|PF|=5.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若A，B为抛物线C上异于P的两点，且PA⊥PB.记点A，B到直线y=-4的距离分别为a，b，求证：ab为定值.