解题方法
1 . 已知抛物线
的焦点
关于原点的对称点是
为
为圆心，
为半径的圆.直线
是过
上异于原点的一点
的
的切线，切点为
.
(1)求
的最大值；
(2)求
的最大值.
的焦点关于原点的对称点是为为圆心，为半径的圆.直线是过上异于原点的一点的的切线，切点为.(1)求
的最大值；(2)求
的最大值.
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解题方法
2 . 已知A是抛物线
上一点（异于原点），斜率为
的直线
与抛物线恰有一个公共点A（与x轴不平行）．
(1)当
时，求点A的纵坐标；
(2)斜率为
的直线
与抛物线交于B，C两点，且
是正三角形，求
的取值范围．
上一点（异于原点），斜率为的直线与抛物线恰有一个公共点A（与x轴不平行）．(1)当
时，求点A的纵坐标；(2)斜率为
的直线与抛物线交于B，C两点，且是正三角形，求的取值范围．
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2024-02-28更新
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263次组卷
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2卷引用：2024年集英苑冬季竞赛高中数学试题
解题方法
3 . 已知点
，
、
两点分别在
轴、
轴上运动，且满足
，
．
(1)求
的轨迹方程；
(2)若一正方形的三个顶点在点的轨迹上，求其面积的最小值．
，、两点分别在轴、轴上运动，且满足，．(1)求
的轨迹方程；(2)若一正方形的三个顶点在点
的轨迹上，求其面积的最小值．
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4 . 平面直角坐标系
中，已知圆
与
轴、
轴均相切，圆心在椭圆
内，且与
有唯一的公共点
.则的焦距为______ .
中，已知圆与轴、轴均相切，圆心在椭圆内，且与有唯一的公共点.则的焦距为
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5 . 设点在抛物线
上，
的焦点为
．、为过的两条倾斜角互补的直线，且、与的另一交点分别为
、．已知直线
的斜率为
．
(1)求直线
的斜率；
(2)记、与轴的交点分别为
、
．设
和
分别为
和的面积，当
时，求
的取值范围．
在抛物线上，的焦点为．、为过的两条倾斜角互补的直线，且、与的另一交点分别为、．已知直线的斜率为．(1)求直线
的斜率；(2)记
、与轴的交点分别为、．设和分别为和的面积，当时，求的取值范围．
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6 . 已知的三个顶点都在抛物线
上，且O为抛物线的顶点，抛物线的焦点F满足
，若BC边上的中线所在直线l的方程为
（m，n为常数且
），记
、
、
的面积分别记为、、
，则
的值为______ ．
的三个顶点都在抛物线上，且O为抛物线的顶点，抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为（m，n为常数且），记、、的面积分别记为、、，则的值为
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7 . 已知抛物线
，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点
和点
，线段
的中点分别记为
.
(1)求
面积的最小值；
(2)求线段
的中点
满足的方程.
，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点和点，线段的中点分别记为.(1)求
面积的最小值；(2)求线段
的中点满足的方程.
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解题方法
8 . 已知椭圆C：
的离心率为
，点
分别是椭圆的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线l与椭圆相交于
两点，求使
面积最大时直线l的方程.
的离心率为，点分别是椭圆的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆
的方程；(2)若过点
的直线l与椭圆相交于两点，求使面积最大时直线l的方程.
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解题方法
9 . 的顶点A在抛物线
上，点B，C在直线
上，若
，则面积的最小值为______ .
的顶点A在抛物线上，点B，C在直线上，若，则面积的最小值为
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解题方法
10 . 设抛物线
的准线与轴交于
，焦点为，以、为焦点，离心率
的椭圆与抛物线的一个交点为
，自引直线交抛物线于、
两个不同的点，点关于轴的对称点记为，设
．
(1)求抛物线的方程和椭圆的方程；
(2)求证：
．
的准线与轴交于，焦点为，以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为，自引直线交抛物线于、两个不同的点，点关于轴的对称点记为，设．(1)求抛物线的方程和椭圆的方程；
(2)求证：
．
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