1 . 在平面直角坐标系中，定长为3的线段两端点、分别在轴，轴上滑动，在线段上，且.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设点是轨迹上一点，从原点向圆作两条切线分别与轨迹交于点，，直线，的斜率分别记为，.
①求证：；
②求的最大值.

2 . 已知椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线经过点且与椭圆相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值.

3 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长和焦距都等于2，是椭圆上的一点，且在第一象限内，过且斜率等于的直线与椭圆交于另一点，点关于原点的对称点为.

（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线的斜率为定值；
（3）求面积的最大值．

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为，且经过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线与椭圆C相交于点M，N，椭圆C的左右顶点为,直线与相交于点，证明点在定直线上，并求出定直线的方程.

5 . 椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.

6 . 如图，F₁，F₂分别为椭圆C:的左、右焦点，A，B为两个顶点．已知顶点B(0，)到F₁，F₂两点的距离之和为4．

（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：椭圆C上任意一点M(x₀，y₀)到右焦点F₂的距离的最小值为1；
（3）作AB的平行线交椭圆C于P，Q两点，求|PQ|的最大值，并求|PQ|取最大值时的面积．

7 . 椭圆的一个焦点为，离心率．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）定点，为椭圆上的动点，求的最大值，并求出取最大值时点的坐标；
（3）定直线，为椭圆上的动点，证明点到的距离与到定直线的距离的比值为常数，并求出此常数值．

8 . 已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆C交于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；     
（2）若直线与圆相切，证明：为定值

9 . 已知椭圆，点
（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；
（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论.

10 . 平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．