1 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，的周长为8，且点在上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与圆：交于C，D两点，当时，求面积的取值范围．

2 . 已知动圆经过点，并且与圆相切．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)动直线过点，且与轨迹分别交于，两点，点与点关于轴对称（点与点不重合），求证：直线恒过定点．

3 . 已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；
(2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.
①求证：直线恒过一定点；
②设的面积为，求的最大值.

4 . 若椭圆上有一动点，到椭圆的两焦点，的距离之和等于，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于不同两点、，，（为坐标原点），求实数的取值范围.

5 . 在中，已知点边上的中线长与边上的中线长之和为，记的重心G的轨迹为曲线C．

(1)求C的方程；
(2)若圆，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与曲线的另一个交点分别是点，求面积的最大值．

6 . 已知：方程表示圆：：方程表示焦点在轴上的椭圆．
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题为真，为假，求实数a的取值范围．

7 . 已知椭圆的焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．

8 . 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． 椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆上异于的动点，交直线于点，与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线是否过轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．

9 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为的上顶点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．

10 . 已知椭圆E：的离心率为，短轴长为4．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线与椭圆E交于C，D两点，在y轴上是否存在定点Q，使得对任意实数k，直线QC，QD的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．