1 . 已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．
(1)求椭圆方程．
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．

2 . 已知椭圆的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点，，设点关于坐标原点的对称点为，若点恒在以为直径的圆内部，求实数的取值范围．

3 . 已知椭圆过点，焦距是短半轴长的倍，
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上的三个不同点，线段交轴于点异于坐标原点，且总有的面积与的面积相等，直线分别交轴于点两点，求的值.

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形是面积为8的正方形.
(1)将椭圆的标准方程；
(2)过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点.

5 . 已知动圆与圆外切，同时与圆内切；则动圆圆心的轨迹方程为___________.

6 . 椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，左、右焦点分别为，，且，，成等比数列．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，求直线的斜率．

7 . 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，，四边形的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点F为椭圆的左焦点，点，过点F作的垂线交椭圆于点P，Q，连接与交于点H．试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

8 . 已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．

9 . 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．

10 . 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，且．
①求证：直线经过定点．
②设和的面积分别为、，求的最大值．