1 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线为椭圆C在点P处的切线，，且直线与椭圆C交于A，B两点．
（ⅰ）求直线的方程；
（ⅱ）当的面积取最大值时，求直线的方程．

2 . 椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，求的值．

3 . 已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于两点，其中.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若（其中O为坐标原点），求k：
(3)证明：是定值.

4 . 已知椭圆，离心率为分别为椭圆的左､右顶点，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)当直线过椭圆的左焦点以及上顶点时，直线与椭圆交于另一点，求此时的弦长.
(3)设直线过点，且与轴垂直，为直线上关于轴对称的两点，直线与椭圆相交于异于的点，直线与轴的交点为，当与的面积之差取得最大值时，求直线的方程.

5 . 设中心在原点O，、为椭圆C的左、右焦点，离心率为，短轴的一个端点和焦点的连线距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线与椭圆C交于两点M、N，若直线的斜率存在，线段MN的中点在直线上，求直线的斜率取值范围.

6 . 已知椭圆的左，右焦点分别为、，上下顶点分别为M、N，点的坐标为，在下列两个条件中任选一个：①离心率；②四边形的面积为4，解答下列各题.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交椭圆于A、B两点，判断点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.

7 . 已知椭圆​为椭圆​的左、右焦点，过点​的任意直线​交椭圆​于、​两点，且的周长为8，椭圆​的离心率为​.
(1)椭圆​的方程；
(2)若​为椭圆​上的任一点，​为过焦点​的弦，且​，求​的值.

8 . 已知C：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线m交直线m于点E.
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)①若线段EN必过定点P，求定点P的坐标；
②点O为坐标原点，求面积的最大值.

9 . 已知椭圆：（）上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程和短轴长；
(2)已知点，过左焦点且与不垂直坐标轴的直线交椭圆于，，设直线与椭圆的另一个交点为，连接，求证：平分.

10 . 椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．