1 . 如图，已知圆，点，以线段为直径的圆内切于圆O，点的集合记为曲线.

(1)求曲线的方程；
(2)已知直线，，过点的直线与交于两点，与直线交于点，记的斜率分别为，问：是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.

2 . 已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程，并说明轨迹是何种曲线；
(2)设过点的直线与直线交于两点，且满足的面积是面积的一半，求的面积．

3 . 已知两动圆：和：，把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，取曲线上的相异两点、满足：且点与点均不重合.
(1)求曲线的方程；
(2)证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；

5 . 已知平面内的定点，为坐标原点，为平面内的动点，满足线段的中点在圆上，点在线段上且，当运动时，点形成的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线与轴的左、右两个交点分别为，过定点的直线与曲线交于两点，设直线与相交于点，证明：点在定直线上.

6 . 在平面直角坐标系中，有一条长度为3的线段，端点，分别在轴、轴上运动，为线段上一点，且.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知不过原点的直线与相交于，两点，且线段始终被直线平分.求的面积取最大时直线的方程.

7 . 已知， 且 的周长等于20，求顶点的轨迹方程_______.

8 . 如图，已知点，，以线段为直径的圆内切于圆．

(1)证明为定值，并写出点的轨迹的方程；
(2)设点是曲线上的不同三点，且，求的面积．

9 . 已知点皆为曲线C上点，P为曲线C上异于M，N的任意一点，且满足直线PM的斜率与直线PN的斜率之积为.
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线上点，经过曲线C右焦点的直线与曲线C交于，（异于）两点，与直线交于点，设，，的斜率分别为，，，求证：.

10 . （1）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，椭圆经过点，求椭圆的标准方程；
（2）两个顶点的坐标分别是，边所在直线的斜率之积等于，求顶点的轨迹方程.