1 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于．

（1）求动点的轨迹方程；
（2过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；
①证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
②求四边形面积的最小值．

2 . 已知点是平面直角坐标系异于的任意一点，过点作直线：及：的平行线，分别交轴于，两点，且.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）在轴正半轴上取两点，，且，过点作直线与轨迹交于，两点，证明：.

3 . 已知点在圆上，点在轴上的投影为，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设不过点的直线与曲线交于，两点，若直线与直线的斜率之和为，求证：直线过定点.

4 . 已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程
（2）过点作倾斜角互补的两条直线，若直线与曲线交于两点，直线与圆交于两点，当四点构成四边形，且四边形的面积为时，求直线的方程.

5 . 已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长．
（1）求点的轨迹方程；
（2）已知直线的方程为，过直线上一点作（1）中轨迹的两条切线，切点分别是，两点，证明：直线经过定点，并求出定点坐标．

6 . 已知点的坐标为，点的坐标为，点满足，记点的轨迹为．
（1）证明为定值，并写曲线的方程；
（2）设直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在定点，使得对任意实数，直线，的斜率乘积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

7 . 设圆的圆心为，直线过点，是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与交于点.
（1）求出点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围.

8 . 已知是圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设，，是曲线上不同于、的任意一点．求证：直线、的斜率之积为定值．

9 . 已知直线与圆相切，动点到与两点距离之和等于，两点到直线的距离之和.

（1）设动点的轨迹为，求轨迹的方程；
（2）对于椭圆，上一点，以为切点的切线方程为.设为上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，，为切点.
①求证直线过定点；
②求面积的最大值.

10 . 已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于，动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知直线，、，为曲线上的点且与、不重合，直线和直线分别与相交于、，问是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.