1 . 设O为坐标原点，直线与抛物线C：交于A，B两点，若.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求的值.

2 . 已知抛物线为抛物线上四点，点在轴左侧，满足.
(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标；
(2)设线段的中点为.证明：直线与轴垂直；

3 . 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于两点，与交于两点，且与同向.
（i）当直线绕点旋转时，判断的形状；
（ii）若，求直线的斜率.

4 . 已知抛物线的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线l于P，Q两点.
(1)若F在线段上，R是的中点，与平行吗？
(2)若的面积是的2倍，求中点的轨迹方程.

5 . 已知点为抛物线的焦点，点，，且.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若正方形的顶点、在直线上，顶点、在抛物线上，求.

6 . 已知抛物线和圆，倾斜角为的直线过焦点，且与相切.
(1)求抛物线的方程；
(2)动点在的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设，证明点在定直线上，并求该定直线的方程.

7 . 已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值．

8 . 已知圆，点是圆上的动点，是抛物线的焦点，为的中点，过作交于，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过的直线交曲线于点、，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．

9 . 已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小3.
(1)求抛物线的准线方程；
(2)若过点的直线与抛物线交于两点，线段的中垂线与抛物线的准线交于点，请问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

10 . 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且.
(1)求曲线和曲线的标准方程；
(2)过的直线交曲线于两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值.