1 . 已知椭圆的左焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两点，且，求面积的取值范围．

2 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，是上的一个动点．当是的上顶点时，的面积为．
（1）求的方程；
（2）设斜率存在的直线与的另一个交点为．若存在点，使得，求的取值范围．

3 . 已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.

4 . 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个交点.
(1)求椭圆的方程和点的坐标；
(2)设为坐标原点，与平行的直线与椭圆交于不同的两点，直线与直线交于点，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.

5 . 已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A，B两点（异于M）．
（1）求证：直线AB的斜率为定值；
（2）求面积的最大值．

6 . 过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点.当直线的斜率为0时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)求四边形面积的取值范围.

7 . 已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上.不过原点的直线与椭圆交于两点，且（为坐标原点）.
（1）求椭圆的方程；
（2）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.

8 . 已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若圆：的切线与曲线相交于、两点，线段的中点为，求的最大值．

9 . 已知直线与抛物线相切，且与轴的交点为，点.若动点与两定点所构成三角形的周长为6．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设斜率为的直线交曲线于两点，当，且位于直线的两侧时，证明：.

10 . 已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.
(1)求动点的轨迹曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.