1 . 已知和是平面直角坐标系中两个定点，过动点的直线和的斜率分别为，，且.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作相互垂直的两条直线与轨迹交于，两点，求证：直线过定点.

2 . 已知椭圆的两个焦点分别为，长轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，若点满足，求证：由点 构成的曲线关于直线对称．

3 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.

（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与轴交于点，过点的直线与交于、两点，点为直线上任意一点，设直线与直线交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：.

4 . 已知点M到定点的距离和它到直线的距离的比是常数．
求点M的轨迹C的方程；
若直线l：与圆相切，切点N在第四象限，直线与曲线C交于A、B两点，求证：的周长为定值．

5 . 椭圆：的长轴长为4，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：交椭圆于，两点，点在椭圆上，且不与、两点重合，直线，的斜率分别为，.求证：，之积为定值.

6 . 已知点与的距离和它到直线的距离的比是常数．
求点M的轨迹C的方程；
设N是圆E：上位于第四象限的一点，过N作圆E的切线，与曲线C交于A，B两点求证：的周长为10．

7 . 如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知圆O：x²＋y²＝4，椭圆C：＋y²＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D(－，0).设直线AB，AC的斜率分别为k₁，k₂.

(1) 求k₁k₂的值；
(2) 记直线PQ，BC的斜率分别为k_PQ，k_BC，是否存在常数λ，使得k_PQ＝λk_BC？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；
(3) 求证：直线AC必过点Q.

8 . 已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，且为的重心．

(1)如果直线、的斜率都存在，求证：为定值；
(2)试判断的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由．

9 . 已知A(－2，0)，B(2，0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当点P在椭圆上运动时，求证：以BD为直径的圆与直线PF恒相切．

10 . 设为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，满足,已知三角形
的面积为1.
(1) 求的方程:
(2) 设的上顶点为,过点(2，-1)的直线与椭圆交于两点(异于),求证: 直线和的斜率之和为定值，并求出这个定值.