1 . 已知椭圆C：的上顶点M与椭圆C的左、右焦点，构成一个等边三角形，过且垂直于，的直线与椭圆C交于D，E两点，且的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P，Q是椭圆C上的两个动点，且，过点O作，交直线PQ于H点，求证：点H总在某个定圆上，并写出该定圆的方程．

3 . 已知椭圆：与直线相切于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，为椭圆上异于点的点，直线，与轴分别交于点，，若，证明：直线恒过定点.

4 . 已知椭圆的离心率为的上顶点，为椭圆上任意一点，且满足的最大值为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知.过点的直线（斜率存在且不为1）与椭圆交于两点.证明：平分.

5 . 已知椭圆：的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于点．过点作椭圆的切线，交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)过点的直线（非轴）交椭圆于、两点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上．

6 . 已知椭圆：的左顶点为，上下顶点为，，离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)设点是椭圆上一点，不与顶点重合，满足四边形是平行四边形，过点作垂直轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点.求证：，，三点共线.

7 . 已知椭圆，直线，是直线上的动点，过作椭圆的切线，，切点分别为，
(1)当点坐标为时，求直线的方程；
(2)求证：当点在直线上运动时，直线恒过定点；
(3)是否存在点使得的重心恰好是椭圆的左顶点，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

9 . 在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为和，的周长为6，记顶点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为，．
（ⅰ）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数，使得当时，；
（ⅱ）若，当最大时，求四边形EPFQ的面积．

10 . 已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：点在定直线上.