1 . 已知椭圆经过，两点.为坐标原点，且的面积为，过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.且直线，分别与轴交于点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程；
(3)设，，求的取值范围.

2 . 已知椭圆的两个焦点分别为、，直线与椭圆交于A、B两点.
(1)若直线l经过点，且，求点A的坐标；
(2)若直线l经过点，且，求直线l的方程；
(3)若，则的面积是否为定值?如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由.

3 . 如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当、、成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.若猫眼曲线过点，且、、的公比为.
   
(1)求猫眼曲线的方程；
(2)任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，直线、直线的斜率分别为、，试问：是否为与无关的定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由；
(3)若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，，为椭圆上的任意一点（点与点，不重合），求面积的最大值.

4 . 已知椭圆C：，其右焦点为F，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆C交于P，Q两点.

(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)过点的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线过定点.

5 . 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求“共轭点对”中点所在直线的方程；
(3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.

6 . 设椭圆：的一个顶点为，离心率为，为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若满足，求的值；
(3)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）．垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

9 . 已知椭圆．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设点是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为；
(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为，求△的面积的最小值．