1 . 已知椭圆的左、右焦点分别是，其离心率，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，证明：为定值，并求出这个定值；
(3)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围．

3 . 已知椭圆：的离心率为，且过点，点与点关于原点对称，过点作直线l与E交于，两点（异于点），设直线与的斜率分别为，．
(1)若直线l的斜率为，求的面积；
(2)求的值．

4 . 已知椭圆的右焦点为F，点P是椭圆与x轴正半轴的交点，点Q是椭圆与y轴正半轴的交点，且，．直线l过圆的圆心，并与椭圆相交于A，B两点，过点A作圆O的一条切线，与椭圆的另一个交点为C，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)求直线的斜率．

5 . 已知分别是椭圆的左、右顶点，过点、斜率为的直线交椭圆于两个不同的点．
(1)求椭圆的焦距和离心率；
(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围；
(3)若，设直线分别交轴于点，求的取值范围．

6 . 已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上有一动点，求的取值范围；
(3)设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由．

7 . 已知椭圆：中，A为的上顶点，P为上异于上、下顶点的动点，为x轴上的动点．
(1)若，求点P的纵坐标；
(2)设，若是直角三角形，求的值；
(3)若，是否存在以AM，AP为邻边的平行四边形MAPQ，使得点Q在上？若存在，求出此时点P的纵坐标；若不存在，说明理由．

8 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为M，过点M且斜率为的直线与椭圆交于另一点N，过原点的直线与椭圆交于P、Q两点.
(1)求周长；
(2)是否存在这样的直线，使椭圆中与直线平行的弦的中点都在上?若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由；
(3)若直线与线段相交，且四边形的面积，求直线的斜率的取值范围.

10 . 已知椭圆的离心率为，焦距为2，过的左焦点的直线与相交于，两点，与直线相交于点.
(1)求椭圆方程；
(2)若，求证：；
(3)过点作直线的垂线与相交于，两点，与直线相交于点.求的最大值.