1 . 双曲线M：过点，且它的渐近线方程是．
（1）求双曲线M的方程；
（2）设椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线M的实轴，且椭圆N中斜率为的弦的中点轨迹恰好是M的一条渐近线截在椭圆N内的部分，试求椭圆N的方程．

2 . 在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离.
（1）设椭圆上的任意一点到直线，的方向距离分别为、，求的取值范围.
（2）设点、到直线的方向距离分别为、，试问是否存在实数，对任意的都有成立？若存在，求出的值；不存在，说明理由.
（3）已知直线和椭圆，设椭圆的两个焦点，到直线的方向距离分别为、满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小.

3 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、、的斜率依次成等比数列，问：直线是否定向的，请说明理由．

4 . 设椭圆：（）的右焦点为，短轴的一个端点到的距离等于焦距．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设、是四条直线，所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，是椭圆上任意一点，若，求证：为定值；
（3）过点的直线与椭圆交于不同的两点、，且满足△与△的面积的比值为，求直线的方程．

5 . 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆.已知椭圆，其左顶点为、右顶点为.

（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；
（2）设椭圆（），过作斜率为的直线与椭圆只有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆只有一个公共点，求的值；
（3）已知椭圆与椭圆（）是相似椭圆.椭圆上异于、的任意一点，且椭圆上的点（）求证：.

6 . 已知椭圆：的中心为，一个方向向量为的直线与只有一个公共点
（1）若且点在第二象限，求点的坐标；
（2）若经过的直线与垂直，求证：点到直线的距离；
（3）若点、在椭圆上，记直线的斜率为，且为直线的一个法向量，且求的值.

7 . 设三个数，2，成等差数列，其中对应点的曲线方程是．
(1)求的标准方程；
(2)直线与曲线C相交于不同两点，且满足为钝角，其中为直角坐标原点，求出的取值范围．

8 . 已知椭圆：（），过原点的两条直线和分别与交于点、和、，得到平行四边形.
（1）当为正方形时，求该正方形的面积.
（2）若直线和关于轴对称，上任意一点到和的距离分别为和，当为定值时，求此时直线和的斜率及该定值.
（3）当为菱形，且圆内切于菱形时，求，满足的关系式.

9 . 过点作直线交椭圆于两点，使（为坐标原点），求直线的方程.

10 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆内，求实数的取值范围.