1 . 已知椭圆：，，分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点，的点，若的边长为4的等边三角形．
写出椭圆的标准方程；
当直线的一个方向向量是时，求以为直径的圆的标准方程；
设点R满足：，，求证：与的面积之比为定值．

2 . 已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称．

（1）若已知，为椭圆上动点，证明：；
（2）求实数的取值范围；
（3）求面积的最大值（为坐标原点）．

3 . 给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”，若椭圆右焦点坐标为，且过点.
（1）求椭圆的“伴椭圆”方程；
（2）在椭圆的“伴椭圆”上取一点，过该点作椭圆的两条切线、，证明：两线垂直；
（3）在双曲线上找一点作椭圆的两条切线，分别交于切点、使得，求满足条件的所有点的坐标.

4 . 已知椭圆的焦点和上顶点分别为我们称为椭圆C的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知椭圆的一个焦点为且椭圆上的任意一点到两焦点的距离之和为4.

(1)若椭圆与椭圆相似,且相似比为2,求椭圆的方程；
(2)如图，直线与两个“相似椭圆”和分别交于点A、B和点C、D,证明:

5 . 设椭圆C：的两个焦点是和，且椭圆C与圆有公共点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若椭圆C上的点到焦点的最短距离为，求椭圆C的方程；
（3）对（2）中的椭圆C，直线l：与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点，求实数m的取值范围．

6 . 给定椭圆 C : ，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆 C 的“伴随圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F1(, 0) ，其短轴上的一个端点到 F1 的距离为
（1）求椭圆 C 的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角 45°的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，且与椭圆 C 的伴随圆相交于 M .N 两点，求弦 MN 的的长；
（3）点 P 是椭圆 C 的伴随圆上一个动点，过点 P 作直线 l₁、l₂，使得 l₁、l₂与椭圆 C 都只有一个公共点，判断l₁、l₂的位置关系，并说明理由.

7 . 在直角坐标系中，动点到两点的距离之和等于4，设动点的轨迹为曲线
（1）写出曲线的方程
（2）若直线与曲线有交点，求实数的取值范围

8 . 已知复数（，是虚数单位），且
（1）求复数对应点的轨迹的方程；
（2）若过点的直线交曲线于两点，且线段的中点到轴的距离为，求直线的方程.

9 . 已知椭圆:的左、右点分别为点在椭圆上，且
(1)求椭圆的方程；
(2)过点(1,0)作斜率为的直线交椭圆于M、N两点，若求直线的方程；
(3)点P、Q为椭圆上的两个动点，为坐标原点，若直线的斜率之积为求证:为定值.

10 . 设、分别是椭圆的左、右焦点.
（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值；
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.