1 . 已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过动点作直线交椭圆于两点，且，过作直线，使与直线垂直，证明：直线恒过定点，并求此定点的坐标．

2 . 在直角坐标系中，已知．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，l与C交于A、B两点，点为弦AB的中点．过点M作l的垂线交C于D、E，N为弦DE的中点．
①证明：l与ON相交；
②已知l与直线ON交于T，若，求的最大值．

5 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率，为坐标原点，过且不平行于坐标轴的动直线与有两个交点，，线段的中点为.
（1）求的标准方程；
（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；
（3）轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

6 . 已知点，为椭圆:上异于点A,B的任意一点．
（Ⅰ）求证：直线、的斜率之积为-；
（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点、，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

7 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动点在直线上，过作直线交椭圆于,两点，使得，再过作直线,证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

8 . 已知椭圆的长轴长为，离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，(在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点.
①设直线、的斜率分别为，证明为定值;
②求直线斜率取最小值时，直线的方程.

9 . 我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心的连线与该弦垂直；那么，若椭圆的一弦（非过原点的弦）中点与原点的连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明．

10 . 已知椭圆的两个焦点为，，且经过点，一组斜率为的直线与椭圆都相交于不同两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：线段的中点都在同一直线上；
（3）对于（2）中的直线，设与椭圆交于两点，试探究椭圆上使三角形面积为的点有几个？证明你的结论．（不必具体求出点的坐标）