1 . 已知椭圆的上顶点、左顶点为为椭圆上异于点的两个不同点，则下列结论正确的是（       ）

A．若直线的斜率之和为，则直线恒过定点

B．若直线的斜率之积为，则直线恒过定点

C．若直线的斜率之和为，则直线恒过定点

D．若直线的斜率之积为.则直线恒过定点

2 . 设椭圆C：的左、右顶点和椭圆的左、右焦点均为E，F.P是C上的一个动点（异于E，F），已知直线EP交直线于点A，直线FP交直线于点B.直线AB与椭圆交于点M，N，O为坐标原点.
(1)若b为定值，证明：为定值；
(2)若直线OM，ON的斜率之积恒为，求b.

3 . 平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知的垂心为D，外心为E，D和E关于原点O对称，.
(1)若，点B在第二象限，直线轴，求点B的坐标；
(2)若A，D，E三点共线，椭圆T：与内切，证明：D，E为椭圆T的两个焦点.

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，直线与交于两点，点在第一象限，点在第四象限且满足直线与直线的斜率之积为．当垂直于轴时，．
(1)求的方程；
(2)若点为的左顶点且满足，直线与交于，直线与交于．
①证明：为定值；
②证明：四边形的面积是面积的2倍．

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.

(1)当点为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若过作，垂足为.
（i）证明:直线过定点；
（ii）求的最大值.

6 . 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：与椭圆：相似．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左、右顶点，的一点．
①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值．

7 . 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明轨迹的形状；
(2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．
①当时，求证：的值及的周长均为定值；
②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．

8 . 已知椭圆的焦点是椭圆的顶点，椭圆的焦点也是的顶点．

(1)求的方程；
(2)若，，三点均在上，且，直线，，的斜率均存在，证明：直线过定点（用，表示）．

9 . 为椭圆上一动点．
(1)结论一：动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比为定值；
结论二：动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比为定值；
从以上两结论中任选一个进行证明；
(2)过点且斜率为正值的直线交C于点A，过且与垂直的直线与曲线C交于点B，当四边形在x轴上方时，求其面积的最大值．

10 . 已知如图，点为椭圆的短轴的两个端点，且的坐标为，椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线不经过椭圆的中心，且分别交椭圆与直线于不同的三点（点在线段上），直线分别交直线于点.求证：四边形为平行四边形.