1 . 已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为A，B，G为C的上顶点，且的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的动直线与C交于M，N两点.证明：直线与的交点在一条定直线上.

2 . 已知椭圆的离心率为．其左、右顶点分别为，上，下顶点分别为，且四边形的面积为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，直线与交于点．求证：点在定直线上．

3 . 已知椭圆，点A，B为椭圆C的左右顶点（A点在左），，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆C交于（与A，B不重合）两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．

4 . 已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图1，椭圆的长轴两个端点为，垂直于轴的直线与椭圆相交于两点（在的上方），记，求证：为定值；
(3)如图2，已知过的动直线与椭圆相交于两点，求证：直线的交点在一条定直线上运动.

5 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于点．
(1)若，求的值；
(2)若圆是以为圆心，1为半径的圆，连接，线段交圆于点，射线上存在一点，使得为定值，证明：点在定直线上．

7 . 已知椭圆的左、右顶点分别为、，短轴长为，点上的点满足直线、的斜率之积为．
(1)求的方程；
(2)若过点且不与轴垂直的直线与交于、两点，记直线、交于点．探究：点是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

8 . 已知椭圆的离心率为，，是C的顶点，点M是第一象限内的动点，已知的斜率之比为．
(1)证明：点M在一条定直线上；
(2)设与椭圆C分别交于另外的两点，证明直线过定点．

9 . 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为.
(1)求的方程；
(2)求面积的取值范围；
(3)若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C，求证：点C在一条定直线上，并求此定直线．

10 . 已知圆A：，T是圆A上一动点，BT的中垂线与AT交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点（0，2）的直线l交曲线C于M，N两点，记点P（0，）.问：是否存在直线l，满足PM=PN？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.