1 . 设A，B是双曲线H：
上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
(1)若双曲线H的离心率是
，且点
在双曲线H上，求双曲线H的方程；
(2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
(3)设双曲线H：
，其中
，
，点M是抛物线C：
上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．
上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．(1)若双曲线H的离心率是
，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；(2)设A、B分别是双曲线H：
的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；(3)设双曲线H：
，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．
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解题方法
2 . 已知双曲线
的渐近线为
，左顶点为
．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线
交
轴于点
，过点的直线交双曲线于
，
，直线
，
分别交
于
，
，若
，
，，均在圆
上，
①求
的值，并求点的横坐标；
②求圆面积的取值范围．
的渐近线为，左顶点为．(1)求双曲线
的方程；(2)直线
交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上，①求
的值，并求点的横坐标；②求圆
面积的取值范围．
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3 . 已知双曲线
的图像经过点
，点
分别是双曲线的左顶点和右焦点．设过
的直线交的右支于
两点，其中点在第一象限．的标准方程；
(2)若直线
分别交直线
于
两点，证明：
为定值；
(3)是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
的图像经过点，点分别是双曲线的左顶点和右焦点．设过的直线交的右支于两点，其中点在第一象限．
的标准方程；(2)若直线
分别交直线于两点，证明：为定值；(3)是否存在常数
，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
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解题方法
4 . 已知双曲线
的左、右顶点分别为，，渐近线方程为
，过左焦点
的直线与交于，两点．
(1)设直线
，
的斜率分别为
，
，求
的值；
(2)若直线与直线
的交点为，试问双曲线上是否存在定点
，使得
的面积为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
的左、右顶点分别为，，渐近线方程为，过左焦点的直线与交于，两点．(1)设直线
，的斜率分别为，，求的值；(2)若直线
与直线的交点为，试问双曲线上是否存在定点，使得的面积为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
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2024-06-14更新
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395次组卷
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3卷引用：江西省上饶市稳派上进六校联考2024届高三5月第二次联合考试数学试题
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5 . 已知椭圆
的左右顶点分别为
，点是椭圆
上任意一点，点和
关于轴对称，设直线
和
交点为
(1)求点的轨迹
的方程；
(2)若
为曲线的右焦点，过的直线与交
，
两点，在第二象限，
（i）以
为直径的圆是否经过点
，若是，请说明理由；
（ii）设为直径的圆与曲线在第一象限交点为，证明点是
的内心.
的左右顶点分别为，点是椭圆上任意一点，点和关于轴对称，设直线和交点为(1)求点
的轨迹的方程；(2)若
为曲线的右焦点，过的直线与交，两点，在第二象限，（i）以
为直径的圆是否经过点，若是，请说明理由；（ii）设
为直径的圆与曲线在第一象限交点为，证明点是的内心.
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2024高三·全国·专题练习
6 . 已知双曲线：
和椭圆：
.过点
的动直线
交于A，B两点，过点Р的动直线
交于M，N两点，若四条直线
的斜率之和为定值，则定点Q为_______________ .
：和椭圆：.过点的动直线交于A，B两点，过点Р的动直线交于M，N两点，若四条直线的斜率之和为定值，则定点Q为
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2024·全国·模拟预测
解题方法
7 . 已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
是
上一点.若
为
的内心，且
.
(1)求的方程；
(2)点A是在第一象限的渐近线上的一点，且
轴，点
是右支上的一动点，在点处的切线与直线
相交于点，与直线
相交于点.证明：
为定值.
的左、右焦点分别为，，点是上一点.若为的内心，且.(1)求
的方程；(2)点A是
在第一象限的渐近线上的一点，且轴，点是右支上的一动点，在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点.证明：为定值.
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解题方法
8 . 已知双曲线
，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于
两点（在第一象限），与轴交于点
.设直线
的倾斜角分别为
.
(1)若
，
（i）若
，求
；
（ii）求证：
为定值；
(2)若
，直线
与轴交于点，求
与
的外接圆半径之比的最大值.
，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为.(1)若
，（i）若
，求；（ii）求证：
为定值；(2)若
，直线与轴交于点，求与的外接圆半径之比的最大值.
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9 . 已知曲线
，是坐标原点， 过点
的直线与曲线交于，两点.
(1)当与轴垂直时，求
的面积；
(2)过圆
上任意一点作直线
，
，分别与曲线切于，两 点，求证：
；
的直线与双曲线交于
，
两点（，不与轴重合）.记直线
的斜率为
，直线
斜率为
， 当
时，求证：
与
都是定值.
，是坐标原点， 过点的直线与曲线交于，两点.(1)当
与轴垂直时，求的面积；(2)过圆
上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两 点，求证：；
的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为， 当时，求证：与都是定值.
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10 . 已知双曲线
与曲线
有4个交点
（按逆时针排列）
(1)当
时，判断四边形
的形状；
(2)设为坐标原点，证明：
为定值；
(3)求四边形面积的最大值．
附：若方程
有4个实根
，
，
，
，则
，
．
与曲线有4个交点（按逆时针排列）(1)当
时，判断四边形的形状；(2)设
为坐标原点，证明：为定值；(3)求四边形
面积的最大值．附：若方程
有4个实根，，，，则，．
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