1 . 设直线与椭圆相交于，两个不同的点，与轴相交于点，为坐标原点.
（1）证明：；
（2）若，求的面积取得最大值时椭圆的方程.

2 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且，
⊙与该椭圆有且只有一个公共点.
（1）求椭圆标准方程；
（2）过点的直线与⊙相切，且与椭圆相交于两点，求证：；
（3）过点的直线与⊙相切，且与椭圆相交于两点，试探究的数量关系.

3 . 椭圆的左、右焦点为，离心率为，已知过轴上一点作一条直线：，交椭圆于两点，且的周长最大值为8.
(1)求椭圆方程；
(2)以点为圆心，半径为的圆的方程为.过的中点作圆的切线，为切点，连接，证明：当取最大值时，点在短轴上（不包括短轴端点及原点）.

4 . 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆，点是椭圆上的任意一点，直线过点且是椭圆的“切线”.

（1）证明：过椭圆上的点的“切线”方程是；
（2）设，是椭圆长轴上的两个端点，点不在坐标轴上，直线，分别交轴于点，，过的椭圆的“切线”交轴于点，证明：点是线段的中点；
（3）点不在轴上，记椭圆的两个焦点分别为和，判断过的椭圆的“切线”与直线，所成夹角是否相等？并说明理由．

5 . 椭圆的左顶点为，右焦点为，上顶点为，下顶点为，若直线与直线的交点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点为椭圆的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，证明：为定值.

6 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的上顶点和右焦点，的面积为，直线与椭圆交于另一个点，线段的中点为.
（1）求直线的斜率；
（2）设平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，且与直线交于点，求证：存在常数，使得.

7 . 已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，过且垂直于线段的直线交直线于点．

(1)证明：三点共线；
(2)求的最大值．

8 . 如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，两个焦点分别为，，四边形的面积是四边形的面积的2倍.

(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，是椭圆上位于直线两侧的两点.若，求证：直线的斜率为定值.

9 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆，如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.
(1)求的最小值；
(2)若，求证：直线过定点.

10 . 已知椭圆，点
（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；
（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论.